Question

已知函數，把函數g(x)=f(x)-x+1的零點按從小到大的順序排列成一個數列，則該數列的前n項的和,則＝(  )

A．            B．               C．45            D．55

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】解：當0＜x≤1時，有-1＜x-1＜0，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，

當1＜x≤2時，有0＜x-1≤1，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，

當2＜x≤3時，有1＜x-1≤2，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，

當3＜x≤4時，有2＜x-1≤3，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，

以此類推，當n＜x≤n+1（其中n∈N）時，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，

所以，函數f（x）=2^x的圖象與直線y=x+1的交點為：（0，1）和（1，2），

由于指數函數f（x）=2^x為增函數且圖象下凸，故它們只有這兩個交點．

然后：

①將函數f（x）=2^x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位，即得到函數f（x）=2x-1和y=x的圖象，

取x≤0的部分，可見它們有且僅有一個交點（0，0）．

x≤0時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=0．

②取①中函數f（x）=2^x-1和y=x圖象-1＜x≤0的部分，再同時向上和向右各平移一個單位，

即得f（x）=2x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，此時它們仍然只有一個交點（1，1）．

即當0＜x≤1時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=1．

③取②中函數f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，繼續按照上述步驟進行，

即得到f（x）=2x-2+1和y=x在1＜x≤2上的圖象，此時它們仍然只有一個交點（2，2）．

即當1＜x≤2時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=2．

④以此類推，函數y=f（x）與y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交點依次為（3，3），（4，4），…

（n+1，n+1）．

即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…，n+1．

綜上所述方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數列為：

0，1，2，3，4，…，

其通項公式為：a_n=n-1，前n項的和為 Sn=(n-1)•n /2 ，

∴S₁₀=45，

故選C．