Question

6．某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（1）請分析函數y=$\frac{x}{150}$+1是否符合公司要求的獎勵函數模型，并說明原因；
（2）若該公司采用函數模型y=$\frac{10x-3a}{x+2}$作為獎勵函數模型，試確定最小的正整數a的值．

Answer 1

分析 （1）設獎勵函數模型為y=f（x），根據“獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數，且獎金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時獎金不超過投資收益的20%．即f（x）≤$\frac{x}{5}$．
（2）先將函數解析式進行化簡，然后根據函數的單調性，以及使g（x）≤9對x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤$\frac{x}{5}$對x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相應的a的取值范圍．

解答 解：（1）對于函數模型y=f（x）=$\frac{x}{150}$+1，
當x∈[10，1 000]時，f（x）為增函數，--------------------------（1分）
f（x）_max=f（1 000）=$\frac{1000}{150}$+1=$\frac{20}{3}$+1＜9，所以f（x）≤9恒成立，---（2分）
又因為當x∈[10，1 000]時f（x）-$\frac{x}{5}$=-$\frac{29x}{150}$+1≤f（10）=-$\frac{14}{15}$＜0，
所以f（x）≤$\frac{x}{5}$恒成立，----------------------------------------（3分）
故函數模型y=$\frac{x}{150}$+1符合公司要求．---------------------------（4分）
（2）對于函數模型y=g（x）=$\frac{10x-3a}{x+2}$，即g（x）=10-$\frac{3a+20}{x+2}$，
當3a+20＞0，即a＞-$\frac{20}{3}$時遞增，-------------------------------（5分）
為使g（x）≤9對于x∈[10，1 000]恒成立，
即要g（1 000）≤9，3a+18≥1 000，即a≥$\frac{982}{3}$，------------------（7分）
為使g（x）≤$\frac{x}{5}$對于x∈[10，1 000]恒成立，
即要$\frac{10x-3a}{x+2}$≤5，即x²-48x+15a≥0恒成立，
即（x-24）²+15a-576≥0（x∈[10，1 000]）恒成立，又24∈[10，1 000]，
故只需15a-576≥0即可，
所以a≥$\frac{192}{5}$．-------------------------------------------------（9分）
綜上，a≥$\frac{982}{3}$，故最小的正整數a的值為328．--------------------（10分）

點評 本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及函數的最值得應用，同時考查了函數的單調性和恒成立問題，以及轉化的思想，屬于中檔題．