Question

點P在曲線C：+y²=1上，若存在過P的直線交曲線C于A點，交直線l：x=4于B點，滿足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|，則稱點P為“H點”，那么下列結論正確的是（ ）
A．曲線C上的所有點都是“H點”
B．曲線C上僅有有限個點是“H點”
C．曲線C上的所有點都不是“H點”
D．曲線C上有無窮多個點（但不是所有的點）是“H點”

Answer 1

【答案】分析：設出-2≤x_P＜x_A≤2，利用相似三角形求得x_P和x_A的關系，設出PA的方程與橢圓方程聯立求得x_Ax_P的表達式，利用判別式大于0求得k和m的不等式關系，最后聯立①②③求得x_A的范圍，進而通過x_A＜1時，x_P=2x_A-4＜-2，故此時不存在H點，進而求得H點的橫坐標取值范圍，判斷出題設的選項．
解答：解：由題意，P、A的位置關系對稱，于是不妨設-2≤x_P＜x_A≤2，（此時PA=AB）．
由相似三角形，2|4-x_A|=|4-x_P|
即：x_P=2x_A-4…①
設PA：y=kx+m，與橢圓聯立方程組，
解得
x_Ax_P=…②
∵△＞0
4k²＞m²-1…③
聯立①②③，得x_A²-2x_A＜
而0＜＜2
即x_A²-2x_A＜2
即1-≤x_A≤2
而當x_A＜1時，x_P=2x_A-4＜-2，故此時不存在H點
又因為P的位置可以和A互換（互換后即PA=PB），
所以H點的橫坐標取值為[-2，0]U[1，2]
故選D
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系問題．解題的關鍵是求得H點的橫坐標取值范圍．