Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+?）(A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)的部分圖象如圖所示，若函數y=g（x）的圖象與函數y=f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）若關于x的方程3[g（x）]²-mg（x）+1=0在區間(-

π

2

，

π

2

)上有解，求實數m的取值范圍；
（3）令F（x）=f（x）+g（x），x∈[0，π]，求函數F（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用函數圖象先求函數的振幅和周期，再確定初相φ的值，最后利用函數圖象的對稱性，求得函數g（x）的解析式即可
（2）先求函數g（x）在區間(-

π

2

，

π

2

)上的值域，再將方程有解問題轉化為求函數m=3[g(x)+

1 3

g(x)

]，g(x)∈(-

3

2

，1]的值域問題，利用均值定理即可求得函數值域；
（3）先利用三角變換公式將函數F（x）的解析式化簡為y=Asin（ωx+φ）型函數，再利用正弦函數的圖象和性質求函數值域即可

解答：解：（1）由圖可知，A=1，
T=4×(

7π

6

-

2π

3

)=2π，∴ω=1，
即f(x)=sin(x+

π

3

)．
∴g(x)=f(

π

2

-x)=sin(

5π

6

-x)=sin(x+

π

6

)．
（2）∵-

π

2

＜x＜

π

2

，
∴-

π

3

＜x+

π

6

＜

2π

3

，
∴g(x)∈(-

3

2

，1]．
又3[g（x）]²-mg（x）+1=0，
∴m=3g(x)+

1

g(x)

=3[g(x)+

1 3

g(x)

]，
①當g（x）=0時，m∈φ；
②當-

3

2

＜g(x)＜0時，m=3[g(x)+

1 3

g(x)

]=-3[-g(x)+

1 3

-g(x)

]≤-3×2

1 3

=-2

3

∴m∈(-∞，-2

3

]；
③當0＜g（x）≤1時，m=3[g(x)+

1 3

g(x)

]≥3×2

1 3

=2

3

∴m∈[2

3

，+∞)．
綜上，實數m的取值范圍是(-∞，-2

3

]∪[2

3

，+∞)．
（3）∵F（x）=f（x）+g（x），
∴F(x)=sin(x+

π

3

)+sin(x+

π

6

)=

1+ 3

2

(sinx+cosx)=

2 + 6

2

sin(x+

π

4

)．
又x∈[0，π]，∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1，
即-

1+ 3

2

≤F(x)≤

2 + 6

2

，
∴函數函數F（x）的值域為[-

1+ 3

2

，

2 + 6

2

]．

點評：本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，三角變換公式在化簡和求值中的應用，均值定理求函數最值的方法，屬中檔題