Question

已知AB=2a，在以AB為直徑的半圓上有一點C，設AB中點為O，∠AOC=60°．
（1）在

BC

上取一點P，若∠BOP=2θ，把PA+PB+PC表示成θ的函數；
（2）設f（θ）=PA+PB+PC，當θ為何值時f（θ）有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）在三角形中使用余弦定理求出PA、PB、PC的長度，使用二倍角公式及兩角和差的三角公式進行化簡．
（2）利用兩角和差的三角公式進一步化簡f（θ）的解析式到關于某一個角的正弦函數的形式，利用正弦函數的最值，
求出f（θ）的最大值，并求出此時θ的值．

解答：解：（1）由題意知，AB為直徑的半圓的半徑為a，0°＜2θ＜120°，∴0°≤θ≤60°，
△PAO中，由余弦定理得 PA=

a2+a2-2a•acos(180°-2θ)

=2acosθ，
同理可求得 PB=

a2+a2-2a•acos2θ

=2asinθ，
PC=

a2+a2-2a•acos(120°-2θ)

=2asin（60°-θ），
∴PA+PB+PC=2asinθ+2acosθ+2asin（60°-θ）=2asinθ+2acosθ+2a（

3

2

cosθ-

1

2

sinθ）
=asinθ+（2+

3

）acosθ．
（2）f（θ）=PA+PB+PC=asinθ+（2+

3

）acosθ=2a

2+ 3

（

1

2 2+ 3

sinθ+

2+ 3

2 2+ 3

cosθ）
令cosα=

1

2 2+ 3

，sinα=

2+ 3

2 2+ 3

，則 f（θ）=2a

2+ 3

sin（θ+α），
取銳角α，則α=arcsin

2+ 3

2 2+ 3

＞45°，故 當θ=90°-arcsin

2+ 3

2 2+ 3

時，sin（θ+α）=1取得最大值，
此時，f（θ）取最大值  2a

2+ 3

．

點評：本題考查余弦定理、二倍角的余弦公式、兩角和差的三角公式的應用，以及利用正弦函數的有界性求函數的最值，
要注意θ的范圍．