Question

在二項式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列．
（1）求展開式的第四項；
（2）求展開式的常數項；
（3）求展開式中各項的系數和；
（4）求展開式的有理項．

Answer 1

因為第一、二、三項系數的絕對值分別為C_n⁰，

1

2

C

1n

，

1

4

C

2n

∴

C

n0

+

1

4

C

n2

= 2×

1

2

C

n1

∴n²-9n+8=0
解得n=8．
（1）第四項 T4=

C

38

(

3	x

)5 (-

1

2 3 x

)3=-7 x

2

3

（2）通項公式為 Tr+1=

C

r8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，
令

8-2r

3

=0，得r=4
所以展開式中的常數項為 T5=

C

48

(-

1

2

)4=

35

8

（3）令二項式中的x=1，則有展開式中各項的系數和為(1-

1

2

)8=(

1

2

)8…（10分）
（4）通項公式為 Tr+1=

C

r8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，考察x的指數知，r=1，4，7時，x的指數為整數，即：
T₂=-4x²，T5=

35

8

，T8=-

1

16x2

此三項為展開式中的有理項…（14分）