Question

已知函數，。

   （1）求證：函數與的圖象恒有公共點；

（2）當時，若函數圖象上任一點處切線斜率均小于，求實數的取值范圍；

（3）當時，關于的不等式的解集為空集，求所有滿足條件的實數的值。

Answer 1

（1）即證有實根，也就是方程有非負實數根。

        而，，∴方程恒有正根，

        ∴與的圖象恒有公共點。

（2）由題設知時， 恒成立，即。

而在上單調遞增，∴，∴的取值范圍為

。

（3）由題設知，當時，恒成立，記。

若，則，不滿足條件，故。

而，

當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，

于是，∴。

當，即時，在上單調遞減，

于是，矛盾。

綜上所述：。