Question

如圖，焦距為的橢圓的兩個頂點分別為和，且與n，共線．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓有兩個不同的交點和，且原點總在以為直徑的圓的內部，

求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2).

【解析】

試題分析：（1）根據橢圓方程寫出頂點的坐標，然后寫出的坐標,利用兩向量共線的充要條件：,得與的關系，結合,解出與,求出橢圓的方程;（2）設直線，與橢圓有兩個不同的交點和,設,將直線方程代入橢圓方程，消去,得到關于的方程，由兩個不同交點，,并且得到與,原點總在以為直徑的圓的內部，為鈍角，即,整理，代入根與系數的關系，比較得出的取值范圍.

試題解析：（1）解：設橢圓的標準方程為，由已知得，，，，所以，，

因為與n，共線，所以， 2分

由，解得，，

所以橢圓的標準方程為. 4分

（2）解：設，，，，把直線方程代入橢圓方程，

消去，得，

所以，， 8分

，即 （*） 9分

因為原點總在以為直徑的圓的內部，

所以，即， 10分

又，

由得， 13分

依題意且滿足（*）得

故實數的取值范圍是，. 14分

考點：1.橢圓的性質與方程；2.向量共線的充要條件；3.直線與橢圓相交.