Question

（2009•武漢模擬）（文科做）已知函數(shù)f(x)=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

（1）求證：f(x)=

2

sin(x+

π

4

)；      
（2）求函數(shù)y=f（x）的定義域．

Answer 1

分析：（1）將分子中的1用sin²x+cos²x代替，利用二倍角公式將sin2x用2sinxcosx表示，利用完全平方公式，合并同類項(xiàng)，得證．
（2）令分母不為0，通過解三角不等式sin(x+

π

4

)≠-

2

2

，求出x的范圍，寫成集合形式即為函數(shù)的定義域．

解答：證：（1）左邊=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

=

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)

1+sinx+cosx

=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)=右邊．證畢．
（2）x 需滿足1+sinx+cosx≠0，

2

sin(x+

π

4

)≠-1
，即sin(x+

π

4

)≠-

2

2

，
∴x≠2kπ-

π

2

，且x≠2kπ-π，（k∈Z）．
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">{x|x≠2kπ-

π

2

，且x≠2kπ-π，k∈Z．}

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)中1的靈活運(yùn)用，三角函數(shù)中二倍角的應(yīng)用，是一道中檔題．