Question

如圖所示，邊長為4的正方形 與正三角形 所在平面互相垂直，M、Q分別是PC，AD的中點．
（1）求證：PA∥面BDM
（2）求多面體P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結AC、BD交于點O，連接OM．利用正方形的性質，結合已知條件可得OM是△PAC的中位線，可得PA∥OM．再根據線面平行的判定定理，即可證出PA∥面BDM；
（2）由面面垂直的性質定理，證出PQ⊥底面ABCD，可得PQ是P-ABCD的高線．正三角形PAB中，算出高線PQ的長為2，再利用錐體的體積公式即可算出多面體P-ABCD的體積．
解答：解：（1）連結AC、BD交于點O，連接OM．
則正方形ABCD中，AO=OC，
又∵PM=MC，∴OM是△PAC的中位線，可得PA∥OM．
∵PA?平面BMD，OM?平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
（2）∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，
∴PQ⊥AD，PQ=2．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，可得PQ是P-ABCD的高線
因此多面體P-ABCD的體積為V=•S_ABCD•PQ=×4²×=．
點評：本題給出四棱錐，求線面平行并求錐體的體積．著重考查了面面垂直的性質定理、線面平行判定定理和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．