Question

函數f（x）=

1(x為有理數) 0(x為無理數)

，則下列結論錯誤的是（　　）

A、f（x）是偶函數

B、f（x）是周期函數

C、方程f（f（x））=f（x）只有一個解為x=1

D、方程f（f（x））=x只有一個解為x=1

Answer 1

分析：根據函數解析式，結合函數奇偶性的定義，函數周期性的定義及函數值的確定方法，分別判斷四個答案的真假，可得答案．

解答：解：∵函數f（x）=

1(x為有理數) 0(x為無理數)

，
∴當x為有理數時，-x必為有理數，此時f（-x）=f（x）=1；當x為無理數時，-x必為無理數，此時f（-x）=f（x）=0．故A：f（x）是偶函數正確；
對于任意的有理數T，當x為有理數時，x+T必為有理數，此時f（x+T）=f（x）=1；當x為無理數時，x+T必為無理數，此時f（x+T）=f（x）=0，即函數是周期為任意非0有理數的周期函數，故B：f（x）是周期函數正確；
若為有理數，則方程f（f（x））=f（1）=1=f（x）恒成立；若為無理數，則方程f（f（x））=f（0）=1≠f（x），此時無滿足條件的x；故方程f（f（x））=f（x）的解為任意有理數，故C錯誤；
若x為有理數，則方程f（f（x））=f（1）=1，此時x=1；若x為無理數，則方程f（f（x））=f（0）=1，此時無滿足條件的x，故D：方程f（f（x））=x的解為x=1正確．
故選C．

點評：本題考查的知識點是分段函數應用，考查函數的值及函數的性質，正確理解新定義是關鍵．