Question

如圖，已知直線與拋物線相切于點，且與軸交于點，為坐標原點，定點的坐標為.

（1）若動點滿足，求點的軌跡；

（2）若過點的直線（斜率不等于零）與（1）中的軌跡交于不同的兩點（在之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）點M的軌跡為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓

（II）（3－2， 1）

【解析】

試題分析：（I）由，∴直線l的斜率為，

故l的方程為，∴點A坐標為（1，0）

設   則，

由得

整理，得   

∴點M的軌跡為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓

（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設l方程為y=k(x－2)(k≠0)①

將①代入，整理，得

，

由△>0得0<k²<.  設E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)

則 ②   令，由此可得

由②知

    

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2， 1）

考點：本題主要考查橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關系，平面向量的坐標運算，簡單不等式解法。

點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時，主要運用“直接法”，將向量關系用坐標表示，達到解題目的。（2）作為研究直線與橢圓位置關系下，三角形面積之比的范圍問題，應用韋達定理及向量，建立了的不等式，進一步使問題得解。