Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k有幾個(gè)零點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）先表示出F（x）的表達(dá)式，再根據(jù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x-5）=F（5-x）得到F（x）-F（-x）=0，我們可以求出b的值，進(jìn)而可確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，求出h（x）=ln（1+x²）-

1

2

f（x）的極值，將k與極值進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論

解答：解：（1）由題設(shè)得F（x）=x²+bsinx，…（1分）
∵F（x-5）=F（5-x），
∴F（-x）=F（x），…（2分）
所以x²-bsinx=x²+bsinx
所以bsinx=0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立．
∴b=0．…（3分）
故f（x）=x²-2．…（4分）
（2）令y=ln(1+x2)-

1

2

f(x)，
則y′=

2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

1+x2

．…（6分）
令y′=0，則x=-1，0，1，
當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化列表如下．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y′	+	0	-	0	+	0	-
y	遞增[來(lái)源：．Com]	極大值ln2+ 1 2	遞減	極小值1	遞增	極大值ln2+ 1 2	遞減

…（9分）
∴k＞ln2+

1

2

時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
k＜1或k=ln2+

1

2

時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；
k=1時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)；
1＜k＜ln2+

1

2

時(shí)，有四個(gè)零點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．