Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，為橢圓C上一點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的左、右頂點分別為，，過，分別作x軸的垂線，，橢圓C的一條切線與，交于M，N兩點，求證：是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1)根據橢圓離心率，將點代入橢圓方程，由此即可求出橢圓方程；

(2)由題設知，與的方程聯立消去可得，再根據判別式可得，再求出點 的坐標，根據向量的數量積即可證明．

(1)由題意可知得，

故所求橢圓C的標準方程為；

(2)證明：由題意可知，的方程為，的方程為，

直線l與直線，聯立可得，，

所以，.

所以.

聯立得

因為直線l與橢圓C相切，

所以，

化簡，得.

所以，

所以，故為定值

(注：可以先通過計算出此時，再驗證一般性)