Question

已知圓C的圓心在直線x-y-1=0上，且與直線4x+3y+4=0相切，被直線3x+4y-5=0截得的弦長為4

2

，求圓C的方程．

Answer 1

分析：根據圓心C在直線x-y-1=0上，可設圓心為C（a，a-1），半徑為r．根據直線4x+3y+4=0與圓C相切，利用點到直線的距離公式，列出點C到直線直線4x+3y+4=0距離等于r的式子；再根據圓C被直線3x+4y-5=0截得的弦長為4

2

，利用垂徑定理，列出弦長一半與弦心距的平方和等于半徑的平方．將兩式聯解，得到a、r的值，從而得到圓C的方程．

解答：解：∵圓C的圓心在直線x-y-1=0上，
∴設圓C的圓心為（a，a-1），半徑為r，
結合圓C與直線4x+3y+4=0相切，得點C到直線4x+3y+4=0的距離等于半徑r，
∴

|4a+3(a-1)+4|

42+32

=r…（1）
又∵圓C被直線3x+4y-5=0截得的弦長為4

2

，
∴(

1

2

×4

2

)2+(

|3a+4(a-1)-5|

42+32

)2=r2…（2）
（1）（2）聯列方程組，解之得a=2，r=3
可得圓心為C（2，1），所以圓C的方程為：（x-2）²+（y-1）²=9．

點評：本題給出一個圓心在定直線上的圓，和已知的兩條直線中的一條相切，另一條相交，求圓的方程．著重考查了圓的標準方程和直線與圓的位置關系等知識點，屬于中檔題．