Question

已知函數f（x）=x³-3a|x-1|，
（1）當a=1時，試判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當a＞0時，求函數f（x）在[0，+∞）內的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過舉反例說明當a=1時，f（x）非奇非偶．
（2）利用絕對值的意義分段討論去掉絕對值符號將f（x）轉化為分段函數；分別通過導數求兩段的最小值；比較兩段的最小值，挑出最小值為f（x）d的最小值．
解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x³-3|x-1|，（2分）
此時f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函數．（5分）
（2）當0≤x＜1時，f（x）=x³-3a（1-x）=x³+3ax-3a，
當x≥1時，f（x）=x³-3a（x-1）=x³-3ax+3a
∴，（7分）
（i）當0≤x＜1時，f'（x）=3x²+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）內單調遞增，此時[f（x）]_min=f（0）=-3a（9分）
（ii）當x≥1時，，
令f'（x）=0，可得兩極值點或，
①若0＜a≤1，則，可得f（x）在[1，+∞）內單調遞增，
結合（i）、（ii）可得此時[f（x）]_min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，則，可得f（x）在內單調遞減，內單調遞增，
∴f（x）在[1，+∞）內有極小值，
此時
而
可得1＜a≤9時，，a＞9時，（14分）
∴綜合①②可得，當0＜a≤9時，[f（x）]_min=f（0）=-3a，
當a＞9時，（15分）
點評：本題考查通過舉反例說明一個命題不成立的方法、考查通過絕對值的意義去絕對值符號、考查分段函數的最值分段求，比較出各段的最值、考查利用導數求函數的最值、考查分類討論的數學思想方法．