Question

若函數f（x）與g（x）=2^-x互為反函數，則f（3+2x-x²）的單調遞增區間是

[1，3）

．

Answer 1

分析：先求出g（x）的反函數f（x），然后可得f（3+2x-x²）的定義域，利用復合函數單調性的判斷方法可求得函數在定義域內的單調區間．

解答：解：令y=2^-x，則-x=log₂y，∴x=-log₂y，
∴g（x）的反函數：f（x）=-log₂x，
則f（3+2x-x²）=-log2(3+2x-x2)，
由3+2x-x²＞0，得-1＜x＜3，
∴f（3+2x-x²）的定義域為（-1，3），
f（3+2x-x²）可看作由y=-log₂t和t=3+2x-x²復合而成的，
∵y=-log₂t單調遞減，t=3+2x-x²在（-1，1]上遞增，在[1，3）上遞減，
∴f（3+2x-x²）在（-1，1]上遞減，在[1，3）上遞增，
∴f（3+2x-x²）的單調遞增區間是[1，3）．
故答案為：[1，3）．

點評：本題考查反函數概念、復合函數單調性的判斷，準確理解“同增異減”四字含義是判斷復合函數單調性的關鍵，注意單調區間必為定義域的子集．