Question

設函數f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

為奇函數．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）利用函數單調性的定義判斷f（x）在其定義域上的單調性．

Answer 1

分析：（I ）由函數為奇函數可得f（0）=0，代入可求a的值
（II）利用函數單調性的定義，任設x₁＜x₂，則需要判斷f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

的符號，從而可判斷函數的單調性

解答：解：（I）由題意可得函數的定義域為R
∵f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

為奇函數 
∴f（-x）=-f（x）對任意的x都成立
∴f（0）=-f（0）即f（0）=0
∴a•2⁰+a-2=0
∴a=1
（II）由（I）可得f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）得f（x）=

2x-1

2x+1

在R上單調遞增

點評：本題考察了函數奇偶性的性質以及函數單調性的證明方法定義法，解題的關鍵是理解奇函數的定義及單調性的證明方法，本題的重點是單調性的證明，其中判斷符號是難點