Question

已知橢圓方程為．且橢圓的焦距為，定點為橢圓上的點，點P為橢圓上的動點，過點P作y軸的垂線，垂足為P₁，動點M滿足
（1）求M點的軌跡T的方程；
（2）已知O（0，0）、E（2，1），試探究是否存在這樣的點Q：Q是軌跡T內部的整點（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEQ的面積S_△OEQ=2？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知：橢圓焦點為．
|AF₁|+|AF₂|=2a，所以a=4，b²=a²-c²=4，所以橢圓方程為：．
設P（x₀，y₀），M（x，y），由題意可得：代入橢圓方程化簡可得
M點的軌跡T的方程為：x²+y²=16．
（2）連接OE，易知軌跡T上有兩個點 A（-4，0），B（4，0）滿足S_△OEA=S_△OEB=2，
分別過A、B作直線OE的兩條平行線l₁、l₂．
∵同底等高的兩個三角形的面積相等，∴符合條件的點均在直線l₁、l₂上．
∵，∴直線l₁、l₂的方程分別為：．
設點Q（x，y）（x，y∈Z），∵O在軌跡T內，∴x²+y²＜16，
分別解與，得 ，或 ，
∵x，y∈Z，∴x為偶數，在上，x=-2，0，2對應的y=1，2，3
在上，x=-2，0，2，對應的y=-3，-2，-1，∴滿足條件的點Q存在，共有6個，它們的坐標分別為：
（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．
分析：（1）先求得橢圓方程為，設P（x₀，y₀），M（x，y），由題意可得：代入橢圓方程化簡可得
M點的軌跡T的方程．
（2）分別過A、B作直線OE的兩條平行線l₁、l₂ ，符合條件的點均在直線l₁、l₂上，分別解與，求得x的范圍，找出其中的整數，代入直線l₁、l₂的方程求出y的整數值，即得點Q的坐標．
點評：本題考查點軌跡方程的求法，本題考查直線和圓的位置關系，判斷符合條件的點均在直線l₁、l₂上，是解題的關鍵．