Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象如圖：
直線y=0在原點處與函數圖象相切，且此切線與函數圖象所圍成的區域（陰影）面積為，求f（x）．

Answer 1

【答案】分析：題目中給出了函數的面積，故我們可以從定積分著手，求出函數以及函數與x軸的交點，建立等式求解參數．
解答：解：
由圖可以看出f（0）=0，
代入f（x）=x³+ax²+bx+c，得c=0．
故方程可以化簡為
f（x）=x³+ax²+bx
對方程求導，得：
f′（x）=3x²+2ax+b．
由題意直線y=0在原點處與函數圖象相切故f′（0）=0，
代入方程可得b=0．
故方程可以繼續化簡為
f（x）=x³+ax²=x²（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a
可以得到圖象與x軸交點為（0，0）（-a，0）
故對-f（x）從0到-a求定積分即為所求面積，即
∫^-af（x）dx=，
將 f（x）=x³+ax²代入得
∫^-a（x³+ax²）dx=
求解，得a=-3．
故f（x）=x³-3x²
點評：將函數圖象，函數的導數，以及定積分的計算有機結合起來，考查了學生的綜合能力．