Question

(本小題滿分12分) 在直角坐標系中，以坐標原點為圓心的圓與直線：相切.
（1）求圓的方程；
（2）若圓上有兩點關于直線對稱，且,求直線MN的方程；
（3）圓與x軸相交于A、B兩點，圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，求的取值范圍.

Answer 1

（1）．（2）或.（3）.              

(1)關鍵是利用點到直線的距離求出半徑.
（2）可設直線MN的方程為.則圓心到直線MN的距離.由垂徑分弦定理得：，從而解出m的值.
(3) 不妨設．由得．
設，由成等比數列，得，即．=,再根據點P在圓內，確定出y的取值范圍，進而確定的取值范圍.
解：（1）依題設，圓的半徑等于原點到直線的距離，
即 ．
得圓的方程為．                     ………………3分
（2）由題意，可設直線MN的方程為.
則圓心到直線MN的距離.                ………………4分
由垂徑分弦定理得：，即.
所以直線MN的方程為：或.…………6分
（3）不妨設．由得．
設，由成等比數列，得
，即． …………8分
∴=
由于點在圓內，故由此得．    …………10分
所以的取值范圍為.               ………………12分