Question

用邊長(zhǎng)60cm的正方形的鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋水箱，先在四角分別截去相同的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°再焊接而成．問(wèn)水箱底邊應(yīng)取多少，才能使水箱的容積最大？

Answer 1

分析：設(shè)水箱底長(zhǎng)為xcm，則高為

60-x

2

cm，然后求出容器的容積，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，注意變量的范圍．

解答：解：設(shè)水箱底長(zhǎng)為xcm，則高為

60-x

2

cm．
由

60-x 2 ＞0 x＞0

得0＜x＜60．
設(shè)容器的容積為ycm³，則有y=x2•

60-x

2

=-

1

2

x3+30x2．  …（2分）
求導(dǎo)數(shù)，有y′=-

3

2

x2+60x．   …（4分）
令y′=-

3

2

x2+60x=0，解得x=40（x=0舍去）．
當(dāng)x∈（0，40）時(shí)，y'＞0；當(dāng)x∈（40，60）時(shí)，y'＜0，…（6分）
因此，x=40是函數(shù)y=x2•

60-x

2

的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
所以，當(dāng)水箱底邊長(zhǎng)取40cm時(shí)，才能使水箱的容積最大． …（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了立方體容積計(jì)算方法，解答關(guān)鍵是求出水箱的底邊長(zhǎng)和高，注意挖掘題目中的隱含條件，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．