Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1右焦點為F，左頂點為A，過F作與x軸垂直的直線與雙曲線交于M，N，若三角形AMN為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  3

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：把MN的方程為x=c，代入雙曲線方程化簡可得y=±

b2

a

，由a+c=

b2

a

可求得離心率的值．

解答：解：由題意可得MN的方程為x=c，代入雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1可得y=±

b2

a

，
曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1右焦點為F，左頂點為A，過F作與x軸垂直的直線與雙曲線交于M，N，
三角形AMN為等腰直角三角形，
所以a+c=

b2

a

可得a²+ac-b²=0，
∴e²-e-2=0，∴e=2，
故選C．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，判斷a+c=

b2

a

，是解題的關鍵．