Question

13．已知定點A（-5，0），B（5，4），點P為雙曲線$C：\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$右支上任意一點，則|PB|-|PA|的最大值為-4．

Answer 1

分析 設雙曲線左焦點為F₂，根據雙曲線的定義可知|PB|-|PA|=|PB|-|PF₂|-2a，進而可知當P、F₂、B三點共線時有最大值，根據雙曲線方程可求的F₂的坐標，利用兩點間的距離公式求得答案．

解答 解：由雙曲線$C：\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，可知A（-5，0），是雙曲線的左焦點，設雙曲線左焦點為F₂，
則|PB|-|PA|=|PB|-|PF₂|-2a，|PB|-|PF₂|≤|BF₂|，
當P、F₂、B三點共線時有最大值|BF₂|=4，而對于這個雙曲線，2a=8，
所以最大值為4-8=-4．
故答案為-4．

點評 本題主要考查了雙曲線的應用．解題的過程靈活運用了雙曲線的定義和用數形結合的方法解決問題．