Question

（本小題滿分12分）

        橢圓的右焦點為F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E交于A，B，兩點，|AF|+|BF|=4，的最小值為0.5。

   （I）求橢圓E的方程；

   （II）若直線與橢圓E交于M，N兩點（其中），以線段MN為直徑的圓過E的右頂點，求證：直線過定點。

Answer 1

解(1)由橢圓的對稱性，設A(x₁，y₁)，B(－x₁，－y₁)，F(c，0)，

因為|AF|+|BF|=，

即a=2，在三角形AFB中，

由正弦定理得

因為0≤≤a²，所以≥，∴b=1.

所求橢圓方程為;………5分

(Ⅱ) 由得(1+4k²)x²+8kmx+4m²－4=0.由題意得△>0，即m²－1－4k²<0.(※)

設交點M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則

因為以MN為直徑的圓過(2，0)，所以(x₁－2)(x₂－2)+y₁y₂=0，

即(x₁－2)(x₂－2) +(kx₁+m)(kx₂+m)=0，整理得

5m²+16km+12k²=0，(m+2k)(5m+6k)=0，注意到

故解得m=－2k.經檢驗，滿足(※)式.

m=－2k時，直線方程為y=k(x－2)，恒過定點(2，0) ………12分