Question

一個醫生已知某種疾病患者的痊愈率為25%,為試驗一種新藥是否有效，把它給10個病人服用，且規定若10個病人中至少有4個被治好，則認為這種藥有效；反之，則認為無效.試求：

(1)雖新藥有效，且把痊愈率提高到35%，但通過試驗被否定的概率；

(2)新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率.

Answer 1

解析：記一個病人服用該藥痊愈為事件A，且其概率為p，那么10個病人服用該藥相當于10次重復試驗.

(1)因新藥有效且p=0.35，故由n次獨立重復試驗中事件A發生k次的概率公式知，試驗被否定(即新藥無效)的概率為

P₁₀(0)+P₁₀(1)+P₁₀(2)+P₁₀(3)

=p⁰(1-p)¹⁰+p¹(1-p)⁹+p²(1-p)⁸+p³(1-p)⁷≈0.513 8.

(2)因新藥無效，故p=0.25，試驗被認為有效的概率為

P₁₀(4)+P₁₀(5)+…+P₁₀(10)

=1-P₁₀(0)-P₁₀(1)-P₁₀(2)-P₁₀(3)≈0.224 2.

答：新藥有效，但通過試驗被否定的概率為0.513 8;而新藥無效，但通過試驗被認為有效的概率為0.224 2.