Question

（選修4-2 矩陣與變換）
變換T是將平面上每個點M（x，y）的橫坐標乘2，縱坐標乘4，變到點M'（2x，4y）．
（Ⅰ）求變換T的矩陣；
（Ⅱ）圓C：x²+y²=1在變換T的作用下變成了什么圖形？

Answer 1

【答案】分析：（I）伸壓變換矩陣的一般形式是，（k、m是正數），其中將橫坐標變為原來的k倍、縱坐標變為原來的m倍，由此結合題意則不難得到所求變換T的矩陣；
（II）用代替x，代替y，代入圓C的方程化簡整理，即可得到變換后的方程，進而得到圓C在變換T的作用下變成的圖形．
解答：解：（Ⅰ）由已知，得

∴變換T的矩陣是…（3分）
（Ⅱ）由x'=2x，y'=4y，得：，
代入方程x²+y²=1，得：
∴圓C：x²+y²=1在變換T的作用下變成了橢圓…（7分）
點評：本題以伸壓變換為例，求單位圓在矩陣T的作出下變換成的圖形，著重考查了圓的方程、橢圓的標準方程和幾種特殊的矩陣變換的知識點，屬于基礎題．