Question

已知橢圓的離心率為，長軸長為，直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若m=1，且，求k的值（O點為坐標原點）；
（Ⅲ）若坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件可知解得．由a²=b²+c²，得b=1．由此可得到橢圓方程．

（Ⅱ）由題意知y=kx+1．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足方程消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0，由△＞0可知．再由能夠推導出k的值
（Ⅲ）由已知，可得．將y=kx+m代入橢圓方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．然后根據根的判別式和根與系數的關系進行求解．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c（c＞0），依題意解得．
由a²=b²+c²，得b=1．
∴所求橢圓方程為

（Ⅱ）∵m=1，∴y=kx+1．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足方程消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0&，
則△=（6k）²-4（1+3k²）×0＞0&，解得k≠0．
故．
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）•（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=∴．
（Ⅲ）由已知，可得．
將y=kx+m代入橢圓方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0（*）
∴．
∴
=
=．
當且僅當，即時等號成立．
經檢驗，滿足（*）式．
當k=0時，．
綜上可知|AB|_max=2．∴當|AB|最大時，△AOB的面積取最大值．
點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，難度較大，解題時要綜合運用橢圓的性質，需要熟練地掌握公式的靈活運用．