Question

某公司今年初用25萬元引進一種新的設備，設備投入運行后，每年銷售收入為21萬元．已知該公司第n年需要付出設備的維修和工人工資等費用的和a_n的信息如圖．
（1）求a_n；
（2）該公司引進這種設備后，第幾年后開始獲利、第幾年后開始虧損？
（3）這種設備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？（

3

≈1.73）

Answer 1

分析：（1）由已知中公司第n年需要付出設備的維修和工人工資等費用的和a_n的信息圖，可得每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數列，根據等差數列通項公式的定義，易得答案．
（2）若純收入與年數n的關系為f（n），則純收入=n年銷售總收入-固定投入-n年設備的維修和工人工資等費用的和，由此可以求出f（n）的關系式，然后根據二次不等式的解法，可以得到公司獲利和虧損的年限范圍．公司的年平均獲利
（3）根據（2）中純收入與年數n的關系式f（n），除以n后，即可得到年平均收入利用基本不等式，即可求出這種設備使用多少年時，該公司的年平均獲利最大．

解答：解：（1）由題意知，每年的費用是以2為首項，2為公差的
等差數列，并求得：a_n=a₁+2（n-1）=2n…（3分）
（2）設純收入與年數n的關系為f（n），則：

f(n)=21n-Sn-25 =21n-[2n+ n(n-1) 2 •2]-25=20n-n2-25

…（5分）
由f（n）＞0得n²-20n+25＜0   解得：10-5

3

＜n＜10+5

3

…（6分）
又∵n∈N^*，所以n=2，3，4，…18．…（7分）
∴該公司從第2年開始獲利；第19年后開始虧損．…（8分）
（3）年平均收入為

f(n)

n

=20-(n+

25

n

)≤20-2×5=10…（10分）
當且僅當n=5時，年平均收益最大．…（11分）
答：這種設備使用5年，該公司的年平均獲利最大．…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，數列的應用，其中在（2），（3）中一定要結合n∈N^*這個受實際情況限制的條件，從而給出合理的取值．