Question

已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．
（1）若α∈（-π，0），且|

AC

|=|

BC

|，求角α的大小；
（2）若

AC

⊥

BC

，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量模的平方等于向量的平方得到三角函數(shù)的關(guān)系，據(jù)角的范圍求出角．
（2）利用向量垂直的充要條件列出方程利用三角函數(shù)的二倍角公式、切化弦公式化簡三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求出值．

解答：解：（1）

AC

=(3cosα-4，3sinα)，

BC

=(3cosα，3sinα-4)

AC

2=25-24cosα，

BC

2=25-24sinα
∵|

AC

|=|

BC

|
∴25-24cosα=25-24sinα
∴sinα=cosα
又α∈（-π，0），
∴α=-

3

4

π．
（2）∵

AC

⊥

BC

∴

AC

•

BC

=0
即（3cosα-4）×3cosα+3sinα×（3sinα-4）=0
解得sinα+cosα=

3

4

所以1+2sinαcosα=

9

16

∴2sinαcosα=-

7

16

故

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

sinα+cosα cosα

=2sinαcosα=-

7

16

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量坐標(biāo)的求法、向量模的坐標(biāo)公式、由三角函數(shù)值求角、三角函數(shù)中的二倍角公式、平方關(guān)系．