Question

【題目】已知函數，其中，，e為自然對數的底數.

(1)若，且當時，總成立，求實數a的取值范圍；

(2)若，且存在兩個極值點，，求證：

Answer 1

【答案】(1) ；(2)見解析.

【解析】

(1)由已知可得 ，只需對與0的大小關系分類討論，確定函數的單調性，從而確定函數的最小值，即可求出實數a的取值范圍；

(2)根據，是的根，可得與的關系及其范圍，進而可將用含有的式子表示，構造函數即可證出.

(1)若，則，

所以，

因為，，

所以當，即時，，

所以函數在上單調遞增，所以，符合題意；

當，即時，時，；時，，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，不符合題意，

綜上：實數a的取值范圍為.

(2) 若，則，

所以，

因為存在兩個極值點，所以，所以，

令，得，

所以是方程的兩個根，

所以，，且，，

不妨設，則，

所以

，

令，

所以，

所以在上單調遞增，所以，

所以，又，

所以.