Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任意一點，△AEC面積的最小值是3．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）連接BD，設AC與BD相交于點F．由已知中在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，我們易得AC⊥BD，PD⊥AC，由線面垂直的判定定理可以得AC⊥平面PDB，再由線面垂直的性質定理，即可得到AC⊥DE；
（Ⅱ）連接EF，由（Ⅰ）的結論可知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，所以AC⊥EF，結合已知中AC=6，BD=8，E是PB上任意一點，△AEC面積的最小值是3．我們可以求出EF，FB，PD的值，將PD值，及底面四邊形ABCD的面積求出后，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接BD，設AC與BD相交于點F．
因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
而AC∩BD=F，所以AC⊥平面PDB．
E為PB上任意一點，DE?平面PBD，所以AC⊥DE．
（Ⅱ）連EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，所以AC⊥EF．
S_△ACE=

1

2

AC•EF，在△ACE面積最小時，EF最小，則EF⊥PB．
S_△ACE=

1

2

×6×EF=3，解得EF=1．
由△PDB∽△FEB，得PD：EF=BP：FB．
由于EF=1，FB=4，PB=

PD2+64

，所以PB=4PD，即

PD2+64

=4PD．
解得PD=

8 15

15

．
V_P-ABCD=

1

3

•S_□ABCD•PD=

1

3

×24×

8 15

15

=

64 15

15

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，棱錐的體積，其中在求棱錐的體積時，求出棱錐的高及底面面積是解答的關鍵．