Question

設函數f（x）=x³-6x+5，x∈R
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）在區間[-2，2]上的最值．

Answer 1

分析：（1）利用導數運算法則即可得出f′（x），令f′（x）=0，f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可解得x的范圍，列出表格，即可得出單調區間．
（2）由（1）可知函數f（x）在[-2，-

2

]上單調遞增，在[-

2

，

2

]上單調遞減，在[

2

，2]上單調遞增，分別求出極值與區間端點的函數值解析比較即可端點最值．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-6x+5，∴f′（x）=3x²-6．
令f′（x）=0，解得x=±

2

，f′（x），f（x）隨著x的變化情況如下表：

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由上表可知f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，
單調遞減區間為(-

2

，

2

)．
（2）由（1）可知函數f（x）在[-2，-

2

]上單調遞增，在[-

2

，

2

]上單調遞減，
在[

2

，2]上單調遞增，
∴f（x）的極大值=f(-

2

)=5+4

2

，f（x）的極小值=f(

2

)=5-4

2

．
又∵f(2)=1＜5+4

2

=f(-

2

)，f(-2)=9＞5-4

2

=f(

2

)，
∴函數f（x）在區間[-2，2]上的最大值為5+4

2

，最小值為5-4

2

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值，熟練掌握導數的運算法則、分類討論的思想方法等是解題的關鍵，屬于中檔題．