Question

（2011•順義區二模）已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，離心率是

3

2

．橢圓C的左，右頂點分別記為A，B．點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x=-

10

3

分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN長度的最小值；
（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：T到直線AS的距離等于

2

4

，試確定點T的個數．

Answer 1

分析：（1）因為

c

a

=

3

2

，且c=

3

，所以a=2，b=

a2-c2

=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2 ）橢圓C的左，右頂點坐標為A（-2，0），B（2，0），設直線AS的方程為y=k（x+2），從而M(-

10

3

，-

4

3

k)
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由此入手能夠求出線段MN的長度的最小值．
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，k=1，此時AS的方程為x-y+2=0，S(-

6

5

，

4

5

)，因為點T到直線AS的距離等于

2

4

，所以點T在平行于AS且與AS距離等于

2

4

的直線l′上．設l′：x-y+t=0，則由

|t-2|

2

=

2

4

，解得t=

3

2

或t=

5

2

．由此入手能求出所求點T的個數．

解答：解：（1）因為

c

a

=

3

2

，且c=

3

，所以a=2，b=

a2-c2

=1
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1…．（3分）
（2 ） 易知橢圓C的左，右頂點坐標為A（-2，0），B（2，0），直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0
故可設直線AS的方程為y=k（x+2），從而M(-

10

3

，-

4

3

k)
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設S（x₁，y₁），則(-2)x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

從而y1=

4k

1+4k2

，即S(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)又B（2，0），故直線BS的方程為y=-

1

4k

(x-2)
由

y=- 1 4k (x-2) x=- 10 3

得

x=- 10 3 y═ 4 3k

，所以N(-

10

3

，

4

3k

)故|MN|=|

4k

3

+

4

3k

|
又k＞0，所以|MN|=

4k

3

+

4

3k

≥2

4k 3 • 4 3k

=

8

3

當且僅當

4k

3

=

4

3k

時，即k=1時等號成立
所以k=1時，線段MN的長度取最小值

8

3

…..（9分）
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時，k=1
此時AS的方程為x-y+2=0，S(-

6

5

，

4

5

)，
因為點T到直線AS的距離等于

2

4

，
所以點T在平行于AS且與AS距離等于

2

4

的直線l′上
設l′：x-y+t=0，則由

|t-2|

2

=

2

4

，解得t=

3

2

或t=

5

2

1當t=

3

2

2時，由

3 x2 4 +y2=1 4x-y+ 3 2 =0 5

6得5x²+12x+5=07
由于△=44＞0，故直線l′與橢圓C有兩個不同交點
②t=

5

2

時，由

x2 4 +y2=1 x-y+ 5 2 =0

得5x²+20x+21=0由于△=-20＜0，故直線l′與橢圓C沒有交點
綜上所求點T的個數是2．…..（14分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．