Question

已知函數，在點(1，f(1))處的切線方程為y＋2＝0．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)若對于區間[－2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有，求實數c的最小值；

(3)若過點M(2，m)(m≠2)，可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)　　1分 　　根據題意，得即解得　　3分 　　∴f(x)＝x3－3x　　4分 　　(2)令(x)＝3x2－3＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1． 　　∵f(－1)＝2，f(1)＝－2，∴當x∈[－2，2]時，f(x)max＝2，f(x)min＝－2． 　　則對于區間[－2，2]上任意兩個自變量的值x1，x2，都有 　　，所以c≥4． 　　所以c的最小值為4　　8分 　　(3)∵點M(2，m)(m≠2)不在曲線y＝f(x)上，∴設切點為(x0，y0)．則 　　，∴切線的斜率為 　　則，即 　　因為過點M(2，m)(m≠2)，可作曲線y＝f(x)的三條切線， 　　所以方程有三個不同的實數解． 　　即函數g(x)＝2x3－6x2＋6＋m有三個不同的零點． 　　則(x)＝6x2－12x．令(x)＝0，解得x＝0或x＝2． 　　即解得－6＜m＜2　　14分