Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB．
（1）求證：AB⊥平面PCB；
（2）求異面直線AP與BC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的性質可得PC⊥AB，CD⊥AB，從而證明AB⊥平面PCB．
（2）過點A作AF∥BC，且AF=BC，∠PAF為異面直線PA與BC所成的角，直角三角形中利用邊角關系求得所求角的
正切值，即得所求角的大小．

解答：解：（1）∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB．
又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．
（2）過點A作AF∥BC，且AF=BC，連接PF，CF．
則∠PAF為異面直線PA與BC所成的角．由（1）可得AB⊥BC，
∴CF⊥AF．  由三垂線定理，得PF⊥AF．
則AF=CF=

2

，PF=

PC2+CF2

=

6

．
在Rt△PFA中，tan∠PAF=

PF

AF

=

6

2

=

3

，∴∠PAF=

π

3

，
∴異面直線PA與BC所成的角為

π

3

．

點評：本題考查證明線面垂直的方法，求異面直線所成的角，找出異面直線所成的角是解題的關鍵．