Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點A(-

2

2

，

3

2

)，離心率為

2

2

，點F₁，F₂分別為其左右焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點P，Q，且

OP

⊥

OQ

？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合,橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由離心率，推出b=c，利用橢圓經過的點的坐標，代入橢圓方程，求出a、b，即可得到橢圓C方程．
（2）假設滿足條件的圓存在，其方程為：x²+y²=r²（0＜r＜1），當直線PQ的斜率存在時，設直線方程為y=kx+b，聯立方程組，令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達定理，結合x₁x₂+y₁y₂=0．推出3b²=2k²+2，利用直線PQ與圓相切，求出圓的半徑，得到圓的方程，判斷當直線PQ的斜率不存在時的圓的方程，即可得到結果．

解答： 解：（1）由題意得：

c

a

=

2

2

，得b=c，因為

(- 2 2 )2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，
得c=1，所以a²=2，
所以橢圓C方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）假設滿足條件的圓存在，其方程為：x²+y²=r²（0＜r＜1）
當直線PQ的斜率存在時，設直線方程為y=kx+b，
由

y=kx+b x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4bkx+2b²-2=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
x1+x2=-

4bk

1+2k2

，x1x2=

2b2-2

1+2k2

…（6分）
∵

OP

⊥

OQ

，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴

(1+k2)(2b2-2)

1+2k2

-

4k2b2

1+2k2

+b2=0，
∴3b²=2k²+2．…（8分）
因為直線PQ與圓相切，∴r2=

b2

1+k2

=

2

3

所以存在圓x2+y2=

2

3

當直線PQ的斜率不存在時，也適合x²+y²=

2

3

．
綜上所述，存在圓心在原點的圓x²+y²=

2

3

滿足題意．…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程的求法，圓與橢圓的以及直線的綜合應用，考查分類討論思想、轉化思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．