Question

奇函數f（x）=ax³+bx²+cx的圖象E過點兩點．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若方程f（x）+m=0有三個不同的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+ax為奇函數∴f（-x）=-f（x），（x∈R），∴b=0
∴f（x）=ax³+cx
∵圖象過點、
∴
∴f（x）=x³-3x（5分）
（2）∵f（x）=x³-3x，∴f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）
∴-1＜x＜1時，f'（x）＜0；x＜-1或x＞1時，f′（x）＞0
∴f（x）的增區間是（-∞，-1）和（1，+∞），減區間是（-1，1）（10分）
（3）∵f（-1）=2，f（1）=-2
為使方程f（x）+m=0即f（x）=-m有三個不等根，則-2＜-m＜2，即-2＜m＜2
∴m的取值范圍是（-2，2）
分析：（1）用待定系數法求函數解析式，由f（x）是奇函數和A、B兩點在圖象上列出三個方程，解出a、b、c
（2）求導，利用導數方法求單調區間
（3）將方程f（x）+m=0有三個不同的實根轉化為兩圖象y=f（x）和y=-m有三個交點，利用數形結合解決
點評：本題考查待定系數法求函數解析式、利用導數求函數單調區間以及數形結合能力的運用，對提高學生思維能力有一定的作用