Question

已知直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（3，2），直線l₂經(jīng)過點(diǎn)B，且l₁⊥l₂．
（1）求經(jīng)過點(diǎn)B且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程；
（2）設(shè)直線l₂與直線y=8x的交點(diǎn)為C，求△ABC外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線經(jīng)過原點(diǎn)或不經(jīng)過原點(diǎn)，分兩種情況加以討論，利用直線在坐標(biāo)軸上截距的概念和直線方程的截距式，即可算出滿足條件的直線方程；
（2）由A、B的坐標(biāo)算出直線l₁的斜率k₁=

1

3

，從而得到l₂的斜率k₂=

-1

k1

=-3，利用點(diǎn)斜式列式可得直線l₂的方程為y=-3x+11．聯(lián)解直線l₂與直線y=8x，算出交點(diǎn)為C（1，8），設(shè)△ABC外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入A、B、C的坐標(biāo)解出D、E、F的值，即可得到所求△ABC外接圓的方程．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線為m，
①當(dāng)直線m經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，在兩坐標(biāo)軸上的截距都為零，符合題意．
此時(shí)，直線m的方程為y=

2

3

x；
②當(dāng)直線m不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為

x

a

+

y

a

=1，
將點(diǎn)B（3，2）代入，得

3

a

+

2

a

=1，解之得a=5，
此時(shí)直線m的方程為

x

5

+

y

5

=1，化簡得x+y-5=0．
綜上所述，直線m方程為y=

2

3

x或x+y-5=0，即為所求直線的方程．
（2）∵直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（3，2），
∴直線l₁的斜率k₁=

2-0

3-(-3)

=

1

3

，
∵l₁⊥l₂，∴直線l₂的斜率k₂=

-1

k1

=-3．
又∵直線l₂經(jīng)過點(diǎn)B（3，2），
∴直線l₂的方程為y-2=-3（x-3），即y=-3x+11，
由

y=8x y=-3x+11

聯(lián)解，得

x=1 y=8

，可得直線l₂與直線y=8x的交點(diǎn)為C（1，8）．
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
可得

9-3D+F=0 9+4+3D+2E+F=0 1+64+D+8E+F=0

，解之得

D=2 E=-8 F=-3

，
∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓方程為x²+y²+2x-8y-3=0，即為△ABC外接圓的方程．

點(diǎn)評：本題著重查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關(guān)系、圓標(biāo)準(zhǔn)的方程與一般方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．