Question

如圖，F是橢圓的左焦點，A，B分別是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為，點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F三點確定的圓M恰好與直線相切
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A的直線l₂與圓M交于P，Q兩點，且，求直線l₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為橢圓的離心率為，所以，所以，故，所以BC得方程為，由此入手能得到所求的橢圓方程．
（2）因為，所以∠PMQ=120°．所以M到直線l₂的距離等于1．依題意，直線l₂的斜率存在，設直線l₂：y=k（x+2），所以，由此能得到所求的直線l₂的方程．
解答：解：（1）因為橢圓的離心率為，所以，即（2分）
所以A（-2c，0），，故，
所以BC得方程為（4分）
令y=0，得x=3c，即C（3c，0），所以圓M的半徑為，圓心M（c，0）
因為圓M恰好與直線相切，
所以=2c，∴c=1，∴a=2，b=
故所求的橢圓方程為（8分）
（2）因為，
所以∠PMQ=120°．所以M到直線l₂的距離等于1（11分）
依題意，直線l₂的斜率存在，設直線l₂：y=k（x+2），即kx-y+2k=0
所以，解得，
故所求的直線l₂的方程為（15分）
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．