Question

求函數y=sin⁴x+2sinxcosx-cos⁴x的最小正周期和最小值；并寫出該函數在[0，π]上的單調遞增區間．

Answer 1

解：y=sin⁴x+2sinxcosx-cos⁴x
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+sin2x
=sin2x-cos2x
=2sin（2x-）．
故該函數的最小正周期是π；最小值是-2；單調遞增區間是[0，]，[，π]．
分析：先分解因式，然后利用二倍角的余弦公式以及兩角差的余弦，化為一個角的一個三角函數的形式，求出周期，最小值以及函數的單調增區間．
點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，同角三角函數間的基本關系，二倍角的正弦，二倍角的余弦，正弦函數的單調性，三角函數的最值，把三角函數式化簡為y=Asin（ωx+φ）+k（ω＞0）是解決周期、最值、單調區間問題的常用方法．