Question

已知函數f（x）=ax-

a

x

（a∈R），下列說法正確的是（　　）

A．?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函數

B．?a∈R，f（x）在（-∞，0）上是減函數

C．?a∈R，f（x）是R上的常函數

D．?a∈R，f（x）是（0，+∞）上的單調函數

Answer 1

分析：由函數f（x）=ax-

a

x

（a∈R），知f′(x)=a+

a

x2

，x≠0．a＞0時，f′（x）＞0；a=0時，f（x）=ax-

a

x

=0；a＜0時，f′（x）＜0．由此能夠求出結果．

解答：解：∵函數f（x）=ax-

a

x

（a∈R），
∴f′(x)=a+

a

x2

，x≠0．
a＞0時，f′（x）＞0，f（x）=ax-

a

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上都是增函數；
a=0時，f（x）=ax-

a

x

=0，f（x）是（-∞，0）和（0，+∞）上的常函數；
a＜0時，f′（x）＜0，f（x）是在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數．
故選D．

點評：本題考查函數的導數性質的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．