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記不等式組
x≤1
x-y+2≥
x+y+1≥0
0
表示的平面區域為M.
(Ⅰ)畫出平面區域M,并求平面區域M的面積;
(Ⅱ)若點(a,b)為平面區域M中任意一點,求直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限的概率.
分析:(I)分別聯解方程組,得到三條直線的三個交點的坐標,再根據一元二次不等式組表示的平面區域的結論,可得平面區域M為:△ABC及其內部,其中A(-
3
2
1
2
)
、B(1,3)、C(1,-2),最后可用三角形面積公式求出區域M的面積.
(II)直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限,則a<0,b>0,所以使直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限的點(a,b)的區域為區域M內與第二象限交集,即圖中陰影部分,可求出其面積S',最后利用幾何概型公式,求出其概率.
解答:解:(Ⅰ)聯解
x-y+2=0
x+y+1=0
,得x=-
3
2
y=
1
2
,得到點A(-
3
2
1
2
)

聯解
x=1
x-y+2=0
,得x=1,y=3,得到點B(1,3);聯解
x=1
x+y+1=0
,得x=1,y=-2,得到點C(1,-2)
∴根據一元二次不等式組表示的平面區域的結論,可得平面區域M表示直線AB下方,直線AC上方且在直線BC左側的部分
因此,可得平面區域M為:△ABC及其內部,其中A(-
3
2
1
2
)
、B(1,3)、C(1,-2),(如右圖所示)(3分)
∴平面區域M的面積為S=
1
2
×
5
2
×5=
25
4
(5分)
(Ⅱ)要使直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限,則a<0,b>0,(6分)
又∵點(a,b)的區域為M,
∴使直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限的點(a,b)的區域為第二象限的陰影部分,
其面積為S'=2-
1
2
×
1
2
×1
=
7
4
                                (8分)
故所求的概率為P=
S′
S
=
7
4
25
4
=
7
25
(10分)
點評:本題以二元一次不等式組表示的平面區域為例,考查了平面直角坐標系中求直線交點坐標、二元一次不等式(組)與平面區域和幾何概型等知識點,屬于基礎題.
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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題


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x≤1
x-y+2≥
x+y+1≥0
0
表示的平面區域為M.
(Ⅰ)畫出平面區域M,并求平面區域M的面積;
(Ⅱ)若點(a,b)為平面區域M中任意一點,求直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限的概率.
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