Question

已知函數f（x）=x³+3ax²+3ax+1．
（Ⅰ）若一條直線與曲線y=f（x）相切于點（1，3），求這條直線的方程；
（Ⅱ）若該函數在x=2處取到極值，試判斷方程f（x）=0的實根的個數．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）首先求出函數的導數，根據函數在x=2處取到極值求得a值，然后根據導數與單調區間的關系確定函數的單調區間，分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，可知函數圖象的變化情況，可知方程f（x）=0有3個不同實根．
解答：解：（Ⅰ）將點（1，3）代入f（x）=x³+3ax²+3ax+1，得a=．…（2分）
于是f（x）=x³+x²+x+1．
∴f′（x）=3x²+x+．
由題意知該直線的斜率為k=f′（1）=．…（4分）
∴所求直線方程為y-3=（x-1），即9x-2y-3=0．…（6分）
（Ⅱ） f′（x）=3x²+6ax+3a．
由f′（2）=0，得a=-．…（8分）
此時f′（x）=3x²-x-．
由f′（x）=3x²-x-＞0，解得x＜-或x＞2．
∴f（x）最大f（-）＞0，f（x）最小=f（2）＜0．
所以曲線y=f（x）與x軸有3個交點．，即方程f（x）=0有3個實根．…（12分）
點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，體現了數形結合的思想方法，屬中檔題．