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已知正項數列{an}滿足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*),設bn=
1
an
,數列{bn}的前n項的和Sn,則Sn的取值范圍為(  )
A.(0,
1
2
)
B.[
1
3
1
2
)
C.(
1
3
1
2
)
D.[
1
3
1
2
]
∵(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*),
∴(2n-1)an-(2n+1)an-1=2(4n2-1),
又n>1,等式兩端同除以4n2-1得:
an
2n+1
-
an-1
2n-1
=2
,即數列{
an
2n+1
}是以1為首項,2為公差的等差數列.
an
2n+1
=1+(n-1)×2
=2n-1,
1
an
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

∴sn=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
n
2n+1
當n=1時,s1=
1
3
;n→+∞時,sn
1
2

1
3
≤ sn
1
2

故答案為B.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知正項數列{an}滿足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*
(1)求證:數列{
an
2n+1
}
為等差數列,并求數列{an}的通項an
(2)設bn=
1
an
,求數列{bn}的前n項和為Sn,并求Sn的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

定義:稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數a1,a2,…,an的“均倒數”,已知正項數列{an}的前n項的“均倒數”為
1
2n
,則
lim
n→∞
nan
sn
(  )
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知正項數列an中,a1=2,點(
an
an+1)
在函數y=x2+1的圖象上,數列bn中,點(bn,Tn)在直線y=-
1
2
x+3
上,其中Tn是數列bn的前項和.(n∈N+).
(1)求數列an的通項公式;
(2)求數列bn的前n項和Tn

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知正項數列{an}滿足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
(1)求證:數列{bn}為等比數列;
(2)記Tn為數列{
1
log2bn+1log2bn+2
}
的前n項和,是否存在實數a,使得不等式Tn<log0.5(a2-
1
2
a)
對?n∈N+恒成立?若存在,求出實數a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知正項數列{an},Sn=
1
8
(an+2)2

(1)求證:{an}是等差數列;
(2)若bn=
1
2
an-30
,求數列{bn}的前n項和.

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