Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點分別是F₁，F₂，正三角形AF₁F₂的一邊AF₁與雙曲線左支交于點B，且

AF1

=4

BF1

，則雙曲線C的離心率的值是（　　）

• A、

  3

  2

  +1
• B、

  13 +1

  3

• C、

  13

  3

  +1
• D、

  3 +1

  2

Answer 1

分析：求出F₁（-c，0），A（0，

3

c），設B（x，y），根據

AF1

=4

BF1

，可得x=-

3

4

c，y=

3 c

4

，代入雙曲線方程，即可得出結論．

解答：解：由題意，F₁（-c，0），A（0，

3

c），
設B（x，y），則∵

AF1

=4

BF1

，
∴（-c，-

3

c）=4（-c-x，-y），
∴x=-

3

4

c，y=

3 c

4

，
代入雙曲線方程可得

9 16 c2

a2

-

3 16 c2

c2-a2

=1，
∴9e⁴-28e²+16=0，
∴e=

13 +1

3

．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，確定坐標之間的關系是關鍵．