Question

如圖，△ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE與平面ABC所成的角為θ，且tanθ=。

（Ⅰ）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）記AC=x，V(x)表示三棱錐A-CBE的體積，求V(x)的表達式；
（Ⅲ）當V(x)取得最大值時，求二面角D-AB-C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形， ∴CD∥BE，BC∥DE， ∵DC⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴DC⊥BC， ∵AB是圓O的直徑， ∴BC⊥AC且DC∩AC=C， ∴BC⊥平面ADC， ∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC， 又∵DE平面ADE， ∴平面ACD⊥平面ADE。 （Ⅱ）解：∵DC⊥平面ABC， ∴BE⊥平面ABC， ∴∠EAB為AE與平面ABC所成的角，即∠EAB =θ， 在Rt△ABE中，由，AB=2得， 在Rt△ABC中， ∵（0＜x＜2）， ∴， ∴（0＜x＜2）。
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知0＜x＜2，要取得最大值， 當且僅當取得最大值， ∵當且僅當， 即時，“=”成立， ∴當取得最大值時，，這時△ACB為等腰直角三角形， 連結CO，DO， ∵AC=BC，DC=DC， ∴≌， ∴AD=DB， 又∵O為AB的中點， ∴CO⊥AB，DO⊥AB， ∴∠DOC為二面角D-AB-C的平面角， 在Rt△DCO中，∵，， ∴， ∴∠DOC =60°， 即當取得最大值時，二面角D-AB-C為60°。