Question

在一個盒子中，放有大小相同的紅、白、黃三個小球，從中任意摸出一球，若是紅球記1分，白球記2分，黃球記3分．現從這個盒子中，有放回地先后摸得兩球，所得分數分別記為x、y，設o為坐標原點，點p的坐標為（x-2），x-y），記ξ=||²．
（Ⅰ）求隨機變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵x，y可能的取值為1、2、3，∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ=（x-2）²+（x-y）²≤5，當且僅當x=1，y=3或x=3，y=1時，ξ=5，
因此隨機變量ξ的最大值為5，因為有放回摸兩球所有情況有3×3=9種，
∴P（ξ=5）=；
（Ⅱ）ξ的所有的取值為0，1，2，5
∵ξ=0時，只有x=2，y=2這一情況，
ξ=1時，有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，
ξ=2時，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況，
∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，
故隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	5
P

因此數學期望Eξ==2
分析：（Ⅰ）x，y可能的取值為1、2、3，僅有x=1，y=3或x=3，y=1時隨機變量ξ的最大值為5，可得符合題意的基本事件有2個，而總的基本事有件3×3=9種，由古典概型可得概率；
（Ⅱ）ξ的所有的取值為0，1，2，5，同（1）的求法分別可求得概率，列表可得分布列，由期望的定義可得期望值．
點評：本題考查離散型隨機變量及分布列，涉及數學期望的求解，屬中檔題．