Question

（2013•汕頭一模）已知函數f（x）=-|x|+1，若關于x 的方程f²（x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有 4 個不同的實數解，則實數m的取值范圍是（　　）

• A．m≥

  3

  2

• B．m＞

  3

  2

• C．m＞-

  1

  2

• D．m＜-

  5

  2

Answer 1

分析：題中原方程f²（x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有 4 個不同 的實數解，即要求對應于f（x）=某個常數K，有2個不同的K，先根據題意作出f（x）的簡圖，再根據函數f（x）=-|x|+1對應法則，設t=f（x），等價于方程t²+（2m-1）t+4-2m=0有2個不同 的實數解，再根據一元二次方程根的分布理論可以得出答案．

解答：解：函數f（x）的圖象如右，設t=f（x）∈（-∞，1]，
則關于x 的方程f²（x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有 4 個不同 的實數解，
等價于方程t²+（2m-1）t+4-2m=0有2個不同 的實數解，
設g（t）=t²+（2m-1）t+4-2m，則

△=(2m-1)2-4(4-2m)＞0 - 2m-1 2 ＜1 g(1)=4＞0

，
解得

m＞ 3 2 或m＜- 5 2 m＞- 1 2 m∈R

，∴m＞

3

2

．
故選B．

點評：本題考查了函數的圖象與一元二次方程根的分布的知識，屬于難題，采用數形結合的方法解決，使本題變得易于理解．數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．