Question

（2013•煙臺一模）已知平面向量

a

=(cosφ，sinφ)，

b

=(cosx，sinx)，

c

=(sinφ，-cosφ)，其中0＜φ＜π，且函數f(x)=(

a

•

b

)cosx+(

b

•

c

)sinx的圖象過點(

π

6

，1)．
（1）求φ的值；
（2）先將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個單位，然后將得到函數圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用兩個向量的數量積公式求出

a

•

b

和

b

•

c

的值，進而求得f（x）=cos（2x-φ），再把點(

π

6

，1)代入函數的解析式可得φ 的值．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-

π

3

），根據y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律求得g（x）=cos（x-

π

6

），再由x∈[0，

π

2

]，利用余弦函數的定義域和值域求得函數g（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）由題意可得

a

•

b

=（cosφ，sinφ）•（cosx，sinx）=cosφcosx+sinφsinx=cos（φ-x），

b

•

c

=（cosx，sinx）•（sinφ-cosφ）=sinφcosx-cosφsinx=sin（φ-x），
∴函數f(x)=(

a

•

b

)cosx+(

b

•

c

)sinx=cos（φ-x）cosx+sin（φ-x）sinx=cos（φ-x-x）=cos（2x-φ）．
把點(

π

6

，1)代入可得 cos（

π

3

-φ）=1．
而 0＜φ＜π，∴φ=

π

3

．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-

π

3

），圖象向左平移

π

12

個單位，
可得函數y=cos[2（x+

π

12

）-

π

3

]=cos（2x-

π

6

）的圖象；然后將得到函數圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍，
縱坐標不變，得到函數y=cos（x-

π

6

）的圖象，
故函數 y=g（x）=cos（x-

π

6

）．
由x∈[0，

π

2

]，可得 x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
故當x-

π

6

=0時，函數g（x）=cos（x-

π

6

） 取得最大值為1，
x-

π

6

=

π

3

時，函數g（x）=cos（x-

π

6

） 取得最小值為

1

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，三角恒等變換，余弦函數的、定義域和值域，屬于中檔題．